微分中值定理笔记

「微分中值定理」保姆级教程！8道题搞定！干货密集，不看后悔 | 高数上

费马引理

费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意 $x\in U(x_0)$，都有 $f(x)\le f(x_0)$（或 $f(x)\ge f(x_0)$），那么 $f'(x_0)=0$.

即若 $f(x)$ 在可导点 $x_0$ 处取极值，则 $f'(x_0)=0$.

证明

若 $x=x_0$ 为极大值点，由保号性：

$f'_{+}(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0^{+}} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$

$f'_{-}(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$

由 $f'(x_0)$ 存在 $\iff f'_{+}(x_0)=f'_{-}(x_0)$，即 $f'(x_0)=0$

$x=x_0$ 为极小值点同理

罗尔定理

罗尔定理

设函数 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a, b]$ 上连续；
2. 在 $(a, b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$.

那么至少存在一点 $\xi\in(a, b)$，使得 $f'(\xi)=0$.

证明

由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必能取最大值 $M$，最小值 $m$

1. $M=m$，此时 $f(x)=M$，任取 $\xi\in(a, b)$，都有 $f'(\xi)=0$

2. $M>m$，由 $f(a)=f(b)$，显然 $M, m$ 至少有一个在 $(a, b)$ 内部

   不妨设 $f(\xi)=M(\xi\in(a, b))$，$M$ 为极大值

   $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导 $\Rightarrow$ 由费马引理，$f'(\xi)=0$，得证

例题

设 $0< a< b$，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内可导，且 $f(a)=b, f(b)=a$，证明：$\exist\xi\in(a, b)$，使得 $f'(\xi)=-\dfrac{f(\xi)}{\xi}$

令 $F(x)=xf(x)$

则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续、$(a, b)$ 内可导

$F(a)=af(a)=ab, F(b)=bf(b)=ab$

由罗尔定理得，$\exist\xi\in(a, b)$，使 $F'(\xi)=\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=-\dfrac{f(\xi)}{\xi}$，得证

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

设函数 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a, b]$ 上连续

2. 在 $(a, b)$ 内可导，则至少存在一点 $\xi\in(a, b)$，使得：

   $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$，或写为 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

证明

令 $F(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内可导

$F(a)=f(a), F(b)=f(a)$，故 $F(a)=F(b)$

由罗尔定理，$\exists\xi\in(a, b)$，使 $F'(\xi)=f'(\xi)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，得证

有限增量公式

若 $x, x+\Delta x\in(a, b)$，则存在 $\xi$ 介于 $x, x+\Delta x$ 之间，使得

$$\Delta y=f(x+\Delta)-f(x)=f'(\xi)\cdot\Delta x$$

记 $\xi=x+\theta\Delta x(0<\theta<1)$，即有

$$\Delta y=f(x+\Delta)-f(x)=f'(x+\theta\Delta x)\cdot\Delta x$$

例题

$\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^2\left(\tan\dfrac{1}{x}-\tan\dfrac{1}{x+1}\right)$

由拉氏定理，

$$\begin{aligned} 原式=&\lim_{x\to\infty} x^2\sec^2\xi\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right)，\xi 在 \dfrac{1}{x} 和 \dfrac{1}{x+1} 之间\\ =&\lim_{x\to\infty} x^2\cdot\dfrac{1}{x(x+1)}=1 \end{aligned}$$

证明：当 $x>0$ 时，$\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)< x$

由拉氏定理，$\exist\xi\in(1, 1+x)$

$\ln(1+x)-\ln(1)=\xi x\in\left(\dfrac{1}{1+x}\cdot x, 1\cdot x\right)=\left(\dfrac{x}{1+x}, x\right)$

即 $\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$，得证

已知 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，$(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$，证明：

(1) 存在 $c\in(0, 1)$，使 $f(c)=1-c$.

(2) 存在两个不同的点 $\xi, \eta\in(0, 1)$，使得 $f'(\xi)f'(\eta)=1$.

(1) 令 $F(x)=f(x)+x-1$

$F(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续

$F(0)=f(0)-1=-1<0, F(1)=f(1)=1>0$

由零点定理，$\exist c\in(0, 1)$，使 $F(c)=f(c)+c-1=0$，即 $f(c)=1-c$

(2) $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，$(0, 1)$ 内可导

由拉氏定理，$\exist\xi\in(0, c), \eta\in(c, 1)$，使得

$\dfrac{f(c)-f(0)}{c-0}=\dfrac{(1-c)-0}{c-0}=\dfrac{1-c}{c}=f'(\xi)$

$\dfrac{f(1)-f(c)}{1-c}=\dfrac{1-(1-c)}{1-c}=\dfrac{c}{1-c}=f'(\eta)$

$f'(\xi)f'(\eta)=\dfrac{1-c}{c}\cdot\dfrac{c}{1-c}=1$，得证

柯西中值定理

柯西中值定理

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. 都在 $[a, b]$ 上连续
2. 都在 $(a, b)$ 内可导
3. $g'(x)\ne 0,\forall x\in(a, b)$

则存在一点 $\xi\in(a, b)$，使得 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$.

证明

即证 $f'(\xi)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=0$

令 $F(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$

$F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导

$F(a)=f(a), F(b)=f(a)$，即 $F(a)=F(b)$

由罗尔定理，$\exist\xi$，使 $F'(\xi)=f'(\xi)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=0$，得证

总结

例题

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$b>a>1$，证明：存在 $\xi, \eta\in(a, b)$，使

$$f'(\eta)=\dfrac{b-a}{\eta(\ln b-\ln a)}f'(\xi).$$

$f(x), \ln x$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}>0, x\in(a, b)\subset(1, +\infty)$

由拉氏定理，$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), \xi\in(a, b)\ \textcircled{\scriptsize 1}$

由柯西中值定理，$\exist\eta\in(a, b), \dfrac{f'(\eta)}{\frac{1}{\eta}}=\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}\ \textcircled{\scriptsize 2}$

由 $\textcircled{\scriptsize 1}\textcircled{\scriptsize 2}$，$f'(\eta)=\dfrac{b-a}{\eta(\ln b-\ln a)}f'(\xi)$