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不定积分笔记

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+C\Huge{+C}，+C\Huge{+C}，还是 +C\Huge{+C}

不定积分难学？1h全面入门到精通！|学渣救星

积分表​

积分表
∫k dx=kx+C∫xa dx=xa+1a+1+C(a≠−1)∫1x dx=ln⁡∣x∣+C∫11+x2 dx=arctan⁡x+C∫11−x2 dx=arcsin⁡x+C∫ax dx=1ln⁡aax+C(a>0,a≠1)∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫dxx2+a2=1aarctan⁡xa+C(a>0)∫dxx2±a2=ln⁡∣x+x2±a2∣+C(a>0)∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C(a>0)∫1a2−x2 dx=12aln⁡∣a+xa−x∣+C(a>0)\begin{align} \int k\,\mathrm{d}x=kx+C\\ \int x^a\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1)\\ \int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln |x|+C\\ \int \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C\\ \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C\\ \int a^x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C(a>0, a\ne 1)\\ \int \cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C\\ \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ \int \sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x+C\\ \int \csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x=\sec x+C\\ \int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x=-\csc x+C\\ \int \sec x\,\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C\\ \int \csc x\,\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C\\ \int \tan x\,\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C\\ \int \cot x\,\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C\\ \int \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C(a>0)\\ \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C(a>0)\\ \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C(a>0)\\ \int \dfrac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2a}\ln|\dfrac{a+x}{a-x}|+C(a>0) \end{align}

例题​

∫1x4(x2+1) dx\displaystyle\int \dfrac{1}{x^4(x^2+1)}\,\mathrm{d}x

“分项”：抄分母，加一个减一个

I=∫(1+x2)−x2x4(x2+1) dx=∫1x4 dx−∫1x2(x2+1) dx=∫1x4 dx−∫(1+x2)−x2x2(x2+1) dx=∫1x4 dx−∫1x2 dx+∫1x2+1 dx=−13x−3+1x+arctan⁡x+C\begin{aligned} I=&\int \dfrac{(1+x^2)-x^2}{x^4(x^2+1)}\,\mathrm{d}x\\ =&\int \dfrac{1}{x^4}\,\mathrm{d}x-\int \dfrac{1}{x^2(x^2+1)}\,\mathrm{d}x\\ =&\int \dfrac{1}{x^4}\,\mathrm{d}x-\int \dfrac{(1+x^2)-x^2}{x^2(x^2+1)}\,\mathrm{d}x\\ =&\int \dfrac{1}{x^4}\,\mathrm{d}x-\int \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x+\int \dfrac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x\\ =&-\dfrac{1}{3}x^{-3}+\dfrac{1}{x}+\arctan x+C \end{aligned}
∫tan⁡2 dx\displaystyle\int \tan^2\,\mathrm{d}x

sin⁡2x+cos⁡2x=1⇒tan⁡2+1=sec⁡2\sin^2 x+\cos^2 x=1\Rightarrow\tan^2+1=\sec^2

I=∫(sec⁡2x−1) dx=tan⁡x−x+CI=\displaystyle\int (\sec^2 x-1)\,\mathrm{d}x=\tan x-x+C

∫cos⁡2x2 dx\displaystyle\int \cos^2\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x
I=∫1+cos⁡x2 dx=∫12 dx+12∫cos⁡x dx=12x+12sin⁡x+C\begin{aligned} I=&\int \dfrac{1+\cos x}{2}\,\mathrm{d}x\\ =&\int \dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}x+\dfrac{1}{2}\int \cos x\,\mathrm{d}x\\ =&\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\sin x+C \end{aligned}

第一类换元积分法​

定义​

第一类换元积分法定义

设 ∫f(u) du\displaystyle \int f(u)\,\mathrm{d}u=F(u)+C，且， 且 u=\varphi(x)$ 可导，则由复合函数微分法和不定积分定义由有

∫f[φ(x)]φ′(x) dx=∫f[φ(x)] dφ(x)=令 u=φ(x)∫f(u) du=F(u)+C=F[φ(x)]+C\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f[\varphi(x)]\,\mathrm{d}\varphi(x)\xlongequal{令\ u=\varphi(x)}\int f(u)\,\mathrm{d}u=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C

例题​

∫ln⁡2xx dx\displaystyle \int \frac{\ln^2 x}{x}\,\mathrm{d}x
I=∫ln⁡2x⋅1x dx=∫ln⁡2x dln⁡x=13ln⁡3x+CI=\int \ln^2 x\cdot\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\int \ln^2 x\,\mathrm{d}\ln x=\dfrac{1}{3}\ln^3 x+C
∫tan⁡x dx\displaystyle \int \tan x\,\mathrm{d}x
I=∫sin⁡xcos⁡x dx=−∫1cos⁡x dcos⁡x=−ln⁡∣cos⁡x∣+CI=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x=-\int \dfrac{1}{\cos x}\,\mathrm{d}\cos x=-\ln|\cos x|+C
∫1a2−x2 dx(a>0)\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x(a>0)
积分表 #5
∫11−x2 dx=arcsin⁡x+C\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C
I=∫1a2[1−(xa)2] dx=∫11−(xa)2 d(xa)=arcsin⁡xa+CI=\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2\left[1-\left(\frac{x}{a}\right)^2\right]}}\,\mathrm{d}x=\int \dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,\mathrm{d}\left(\dfrac{x}{a}\right)=\arcsin \dfrac{x}{a}+C
∫dxx(1+x)\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}
提示
dx=(x)′dx=12xdx⇒1xdx=2dx\mathrm{d}\sqrt{x}=\left(\sqrt{x}\right)'\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}\sqrt{x}
积分表 #4
∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C
I=2∫11+(x)2 dx=2arctan⁡x+CI=2 \int \dfrac{1}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\,\mathrm{d}\sqrt{x}=2\arctan\sqrt{x}+C

第二类换元积分​

定义​

第二类换元积分定义

适当地选择变量代换 x=ψ(t)x=\psi(t)，将积分 ∫f(x) dx\displaystyle \int f(x)\,\mathrm{d}x 化为积分 ∫f[ψ(t)]ψ′(t) dt\displaystyle \int f[\psi(t)]\psi'(t)\,\mathrm{d}t，换元公式可表达为 ∫f(x) dx=∫f[ψ(t)]ψ′(t) dt\displaystyle \int f(x)\,\mathrm{d}x=\displaystyle \int f[\psi(t)]\psi'(t)\,\mathrm{d}t，其中，x=ψ(t)x=\psi(t) 是单调可导的函数且 ψ′(t)≠0\psi'(t)\ne 0，确保存在反函数 t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x)。

常见的几种换元法​

三角代换

被积函数含 a2−x2(a>0)\sqrt{a^2-x^2}(a>0)，令 x=asin⁡t,t∈[−π2,π2]x=a\sin t, t\in\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]，则 a2−x2=acos⁡t\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t；

被积函数含 x2+a2(a>0)\sqrt{x^2+a^2}(a>0)，令 x=atan⁡t,t∈(−π2,π2)x=a\tan t, t\in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)，则 x2+a2=asec⁡t\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t；

被积函数含 x2−a2(a>0)\sqrt{x^2-a^2}(a>0)，令 x=asec⁡t,t∈[0,π2)∪(π2,π]x=a\sec t, t\in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]，则 x2−a2=a∣tan⁡t∣\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan t|；

例题​

∫dx1+x\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}
I=即 x=t2令 t=x>0∫dt21+t=∫2tdt1+t=2∫t1+t dt=2∫(t+1)−11+t dt=2[∫1 dt−∫11+t dt]=2[∫1 dt−∫11+t d(t+1)]=2[t−ln⁡(t+1)]+C=2x−2ln⁡(x+1)+C\begin{aligned} I\xlongequal[即\ x=t^2]{令\ t=\sqrt{x}>0}&\int \dfrac{\mathrm{d}t^2}{1+t}=\int \dfrac{2t\mathrm{d}t}{1+t}\\ =&2 \int \dfrac{t}{1+t}\,\mathrm{d}t=2 \int \dfrac{(t+1)-1}{1+t}\,\mathrm{d}t\\ =&2\left[\int 1\,\mathrm{d}t-\int \dfrac{1}{1+t}\,\mathrm{d}t\right]\\ =&2\left[\int 1\,\mathrm{d}t-\int \dfrac{1}{1+t}\,\mathrm{d}(t+1)\right]\\ =&2[t-\ln(t+1)]+C\\ =&2\sqrt{x}-2\ln(\sqrt{x}+1)+C \end{aligned}
∫dx(x2+1)32\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}
I=即 dx=sec⁡2tdt令 x=tan⁡t(t∈(−π/2,π/2))∫sec⁡2t dt∣sec⁡3t∣=∫cos⁡t dt=sin⁡t+C=xx2+1+CI\xlongequal[即\ \mathrm{d}x=\sec^2 t\mathrm{d}t]{令\ x=\tan t(t\in\left(-\pi/2, \pi/2\right))}\int \dfrac{\sec^2 t\,\mathrm{d}t}{|\sec^3 t|}=\int \cos t\,\mathrm{d}t=\sin t+C=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C

分部积分法​

定义​

分部积分法

设 u(x),v(x)u(x), v(x) 均有连续的导数，则

∫u(x) dv(x)=u(x)v(x)−∫v(x) du(x)\int u(x)\,\mathrm{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,\mathrm{d}u(x)
注

要恰当地选择 uu 和 dv\mathrm{d}v，即求 ∫u dv\displaystyle \int u\,\mathrm{d}v 比较困难，而求 ∫v du\displaystyle \int v\,\mathrm{d}u 比较容易，一般可以依次选取 uu 的顺序为——反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数（即“反对幂指三”），即

∫xa{exln⁡x三角反三角 dx⟶{将 ex、三角函数放在 d 后而 ln⁡x、反三角函数留在 d 前\int x^a \begin{cases} e^x\\ \ln x\\ 三角\\ 反三角 \end{cases}\,\mathrm{d}x \longrightarrow \begin{cases} 将\ e^x、三角函数放在\ \mathrm{d}\ 后\\ 而\ \ln x、反三角函数留在\ \mathrm{d}\ 前 \end{cases}

:::

例题​

∫arctan⁡x dx\displaystyle \int \arctan x\,\mathrm{d}x
I=xarctan⁡x−∫x darctan⁡x=xarctan⁡x−∫x⋅11+x2 dx=xarctan⁡x−12∫11+x2 d(x2+1)=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C\begin{aligned} I=&x\arctan x-\int x\,\mathrm{d}\arctan x\\ =&x\arctan x-\int x\cdot\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\ =&x\arctan x-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}(x^2+1)\\ =&x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C \end{aligned}
∫x2ln⁡x dx\displaystyle \int x^2\ln x\,\mathrm{d}x
I=13∫ln⁡x dx3=13(ln⁡x⋅x3−∫x3 dln⁡x)=13(x3⋅ln⁡x−∫x3⋅1x dx)=13(x3⋅ln⁡x−13x3)+C\begin{aligned} I=&\dfrac{1}{3}\int \ln x\,\mathrm{d}x^3\\ =&\dfrac{1}{3}\left(\ln x\cdot x^3-\int x^3\,\mathrm{d}\ln x\right)\\ =&\dfrac{1}{3}\left(x^3\cdot\ln x-\int x^3\cdot\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x\right)\\ =&\dfrac{1}{3}\left(x^3\cdot\ln x-\dfrac{1}{3}x^3\right)\\+C \end{aligned}
∫xex(x+1)2 dx\displaystyle \int \dfrac{xe^x}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x
提示
−1u2dud1u-\dfrac{1}{u^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}\dfrac{1}{u}
I=∫(x+1)−1(x+1)2ex dx=∫exx+1 dx−∫ex(x+1)2 d(x+1)=∫exx+1 dx+∫ex d1x+1=∫exx+1 dx+ex⋅1x+1−∫exx+1 dx=exx+1+C\begin{aligned} I=&\int \dfrac{(x+1)-1}{(x+1)^2}e^x\,\mathrm{d}x\\ =&\int \dfrac{e^x}{x+1}\,\mathrm{d}x-\int \dfrac{e^x}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}(x+1)\\ =&\int \dfrac{e^x}{x+1}\,\mathrm{d}x+\int e^x\,\mathrm{d}\dfrac{1}{x+1}\\ =&\int \dfrac{e^x}{x+1}\,\mathrm{d}x+e^x\cdot\dfrac{1}{x+1}-\int \dfrac{e^x}{x+1}\,\mathrm{d}x\\ =&\dfrac{e^x}{x+1}+C \end{aligned}

原函数存在定理​

原函数存在定理

设 f(x)f(x) 在区间 II 上连续，则 f(x)f(x) 在区间 II 上一定存在原函数 F(x)F(x).

注

初等函数的原函数不一定是初等函数，例如 ∫sin⁡(x2) dx,∫sin⁡xx dx,∫cos⁡xx dx.∫dxln⁡x,∫e−x2 dx\displaystyle \int \sin(x^2)\,\mathrm{d}x, \displaystyle \int \dfrac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x, \displaystyle \int \dfrac{\cos x}{x}\,\mathrm{d}x. \displaystyle \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\ln x}, \displaystyle \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x 等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，即“积不出”