不等式笔记

含对数平均数的不等式链，均值不等式，柯西不等式，权方和不等式

不等式链

拓展课3 不等式链在双变量问题中的综合应用｜对数均值不等式｜高考数学-哔哩哔哩

对于 $a,b > 0$，且 $a \ne b$，定义 $\dfrac{b-a}{\ln b-\ln a}$ 为 $a, b$ 的对数平均数。

信息

$$a < \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{b-a}{\ln b-\ln a} < \frac{a+b}{2} < \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} < b$$

其中 $b > a > 0$。

均值不等式

基本形式

信息

$$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

其中 $a, b>0$，

当且仅当 $a=b$ 时取等。

推广形式

信息

$$\begin{matrix} \begin{align*} \frac{n}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \end{align*} & \le & \begin{align*} \sqrt[n]{\displaystyle\prod\limits_{i=1}^n x_i} \end{align*} & \le & \begin{align*} \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n} \end{align*} & \le & \begin{align*} \sqrt{\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{n}} \end{align*} \\ \\ H_n & \le & G_n & \le & A_n & \le & Q_n \\ \\ \text{调和平均数} && \text{几何平均数} && \text{算数平均数} && \text{平方平均数} \end{matrix}$$

其中 $n \in \N^*$，$x_i > 0$，

当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 时取等。

柯西不等式

二维形式

信息

$$(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

其中 $a, b, c, d \in \R$，

当且仅当 $a = \lambda b, c = \lambda d$，即 $ad=bc$ 时取等。

推广形式

信息

$$\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n a_{i}b_{i} \right)^2 \le \left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n a_i^2\right)\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n b_i^2\right)$$

其中 $n \le 2$，$n \in \N$ 且 $a_i, b_i \in \R$，

当且仅当 $x_i = \lambda y_i$ 时取等。

推广形式向量证明

设 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$

$$\begin{aligned} \because& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\, \\ &\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2} \cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \\ \therefore& a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n = \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2} \cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \\ \because& \cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \le 1 \\ \therefore& a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \le \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2} \\ \therefore& (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \\ \end{aligned}$$

当且仅当 $\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 1$，即 $\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}$ 时取等。

权方和不等式

特殊形式（$m=1$）

信息

$$\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i} \le \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^2}{y_i}$$

其中 $n \in \N^*$，$x_i, y_i > 0$，

当且仅当 $a_i = \lambda b$ 时取等，

二维柯西不等式中令 $a_i = \dfrac{x_i}{\sqrt{y_i}}$，$b_i = \sqrt{y_i}$ 易证得。

一般形式

信息

1. 当 $m(m+1) > 0$ 时：

$$\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^{m+1}}{\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i \right)^m} \le \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m+1}}{y_i^m}$$

2. 当 $m(m+1) = 0$ 时：

$$\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^{m+1}}{\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i \right)^m} = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m+1}}{y_i^m}$$

3. 当 $m(m+1) < 0$ 时：

$$\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^{m+1}}{\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i \right)^m} \ge \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m+1}}{y_i^m}$$

其中 $n \in \N^*$，$x_i, y_i > 0$，

当且仅当 $x_i = \lambda y_i$，即 $\dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{x_2}{y_2} = \cdots = \dfrac{x_n}{y_n}$ 时取等。