求极限笔记

直击痛点 | 求极限题型与方法一课通

可以带入吗

三个可以直接代入的依据

极限四则运算法则

极限四则运算法则

$$设 \lim_{x\to\cdot} f(x)=A, \lim_{x\to\cdot} g(x)=B 均存在，则有：\\ (1) \lim_{x\to\cdot}[kf(x)\pm lg(x)]=k\lim_{x\to\cdot}f(x)\pm l\lim_{x\to\cdot}g(x)=kA\pm lB\\ (2) \lim_{x\to\cdot}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to\cdot}f(x)\cdot\lim_{x\to\cdot}g(x)=A\cdot B\\ (3) \lim_{x\to\cdot} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to\cdot}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to\cdot}g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\ne 0)$$

即：

极限存在 $\Rightarrow$ 极限有限次倍增加减乘除（分母极限不为 0）均存在

连续点处极限等于函数值

$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$

初等函数在定义区间处处连续

七种未定式

七种未定式

$$\begin{align} \dfrac{0}{0}&& \begin{cases} \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1\\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x\sin \dfrac{1}{x}}{x} 不存在\\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{x^2}=\infty \end{cases}\\ \dfrac{\infty}{\infty}&& \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{x^2+x}{x^3+2x}\\ 0\cdot\infty&& \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\ln(1+\dfrac{1}{x})\\ \infty-\infty&& \displaystyle\lim_{x\to 0} (\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x})\\ 1^\infty&& \displaystyle\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}\\ \infty^0&& \displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{\frac{1}{x}}\\ 0^0&& \displaystyle\lim_{x\to 0} \sin x^{\tan x} \end{align}$$

等价无穷小代换

常用等价无穷小

常用等价无穷小

$$\sin x\sim x, \tan x\sim x, \arcsin x\sim x, \arctan x \sim x, e^x-1\sim x, \ln(1+x)\sim x\\ a^x-1\sim x\ln a, (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\\ 1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2, x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2\\ x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3, x-\arcsin x\sim-\dfrac{1}{6}x^3, x-\tan x\sim-\dfrac{1}{3}x^3, x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3$$

等价无穷小代换的用法

1. 使用时通常将 $x$ 广义化为其余 $0$ 的函数（无穷小量）

2. 只有整个函数的乘除因子才能用等价无穷小代换，加减项一般不能替换

例题

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \left(\dfrac{1}{x\sin x}-\dfrac{1}{x\tan x}\right)$

$$\begin{aligned} 原式=&\displaystyle\lim_{x\to 0} \left(\dfrac{1}{x\sin x}-\dfrac{\cos x}{x\sin x}\right)\\ =&\displaystyle\lim_{x\to 0} \left(\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}\right)\\ =&\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}\\ =&\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

拆极限

理论依据

信息

若 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x), \displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)$ 都存在，则 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)+\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)$ 一定存在

若 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x), \displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)$ 都不存在，则 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)+\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)$ 不一定存在

若 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$ 存在，$\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)$ 不存在，则 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)+\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)$ 一定不存在

即：

存在+存在=存在

不存在+不存在=不一定

存在+不存在=不存在

原则

1. 若拆开后，两项极限都不存在，则不能拆

2. 若拆开后，两项极限都存在，则可以拆 $\Rightarrow$ 看到存在就拆出

例题

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x-\ln(1+x^2)+g(x)}{x^2}$（拆极限）

$$\begin{aligned} 原式=&\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}-\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+x^2)}{x^2}+\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{g(x)}{x^2}\\ =&\dfrac{1}{2}-1+\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{g(x)}{x^2}\\ =& \dots \end{aligned}$$

提前求

整个函数乘除因子+极限非 $0\Rightarrow$ 提前求（乘法法则）

洛必达法则

洛必达法则

洛必达法则 设函数 $f(x), F(x)$ 满足条件：

1. 当 $x\to a$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于 $0$（或都趋于 $\infty$）
2. 在点 $a$ 的某去心邻域内，$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x)\ne 0$
3. $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在（或为 $\infty$），那么 $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$

注：以上对于 $x\to\infty$ 也适用

例题

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}$

$$\begin{aligned} 原式=&\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{2-2\cos x}\left(e^{x^2-2+2\cos x}-1\right)}{x^4}\\ =&\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2-2+2\cos x}{x^4}\\ （洛必达法则）=&\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2x-2\sin x}{4x^3}\\ =&\displaystyle\dfrac{1}{2}\lim_{x\to 0} \dfrac{x-\sin x}{x^3}\\ =&\displaystyle\dfrac{1}{2}\lim_{x\to 0} \dfrac{\frac{1}{6}x^3}{x^3}\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}\\ =&\dfrac{1}{12}\\ \end{aligned}$$

由例题得出的小引理

$$e^f-e^g=e^g\left(e^{f-g}-1\right)\\ \lim_{f\to 0, g\to 0} e^f-e^g=\lim_{f\to 0, g\to 0} e^g\left(e^{f-g}-1\right)=\lim_{f-g\to 0} \left(e^{f-g}-1\right)\sim f-g$$

1^∞ 型极限

法一

信息

$\lim_{x\rightarrow 0}[1+f(x)]^{g(x)} = e \iff f(x)g(x)=1$

注：$0\cdot\infty$ 也视作 $1$

信息

$\displaystyle\lim_{x\to\cdot} u(x)=A>0, \displaystyle\lim_{x\to\cdot} v(x)=B$，则 $\displaystyle\lim_{x\to\cdot} u(x)^{v(x)}=A^B$

法一例题

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right]^{\dfrac{1}{e^x-1}}$

$$\begin{aligned} 原式=&\displaystyle\lim_{x\to 0} \left\{\left[1+\dfrac{\ln(1+x)-x}{x}\right]^{\dfrac{x}{\ln(1+x)-x}}\right\}^{\dfrac{\ln(1+x)-x}{x}\cdot\dfrac{1}{e^x-1}}\\ =&\displaystyle\lim_{x\to 0} e^{\dfrac{\ln(1+x)-x}{x}\cdot\dfrac{1}{e^x-1}}\\ =&e^{\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}}\\ =&e^{-\frac{1}{2}}\\ \end{aligned}$$

法二

吟唱：“$e$ 的极限符号往里走，指函数抄一遍，再乘 $\ln$ 底”

注：上方告示标题只能大写，其中的 $E$ 应为 $e$，$\text{LN}$ 应为 $\ln$

（对于 $1^\infty, \infty^0, 0^0$）$\lim u^v=\lim e^{\ln u^v}=\lim e^{v\ln u}$

特别地，对于 $1^\infty$，有 $\lim u^v=e^{\lim v\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$

法二例题

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right]^{\dfrac{1}{e^x-1}}$

$$\begin{aligned} 原式=&e^{\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{e^x-1}\left[\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right]}\\ =&e^{\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+x)-x}{(e^x-1)x}}\\ =&e^{\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}}\\ =&e^{-\frac{1}{2}}\\ \end{aligned}$$